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venerdì 18 febbraio 2011

Un punto di vista diverso sul concetto di limite




Il concetto di limite, se cercato di comprendere nel suo significato più profondo, è piuttosto difficile ed ostico da capire; cerchiamo ora di chiarire un pò le cose aiutandoci con il numero 9.


E' facile verificare che:

1/9=0,111111111111111...
2/9=0,222222222222222...
3/9=0,333333333333333...
4/9=0,444444444444444...
5/9=0,555555555555555...
6/9=0,666666666666666...
7/9=0,777777777777777...
8/9=0,888888888888888...

Viene quindi da sè l'uguaglianza:

9/9=0,999999999999999...

Ma come, 9/9 non faceva 1? Cosa vuol dire, che 0,999999999999... è uguale a 1? Siamo davanti ad una contraddizione?

Non c'è nessuna contraddizione, in realtà si tratta di due rappresentazioni decimali diverse per lo stesso numero, che ci consentono di capire bene il concetto di "all'infinito".

Supponiamo di correre lungo una strada di 1km e, tanto per ammazzare il tempo, di calcolare la frazione di percorso che stiamo lasciando alle spalle: arrivati a circa 333 m, possiamo dire di avere compiuto 1/3 del percorso, poi ai 500 m 1/2 e così via. E' facile immaginare che, mano a mano che ci avviciniamo alla fine, queste frazioni si susseguono con maggiore frequenza: 5/6, 7/8, 9/10, 99/100, 999/1000, 9999/10000 e così via. Sembra quindi che per arrivare al fatidico km servano un numero infinito di passi via via sempre più piccoli, o, in altre parole, che quell'ultimo passo racchiuda in sè un numero infinito di azioni; il problema non differisce concettualmente dal più famoso paradosso di Zenone.

Ecco quindi che da questo punto di vista, il numero 1 può essere scritto come 0,999 periodico; pertanto, il concetto di limite ci aiuta a definire con chiarezza che 0,999 periodico è uguale a 1 senza dover effettuare un numero infinito di passi.

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