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venerdì 21 gennaio 2011

Matematica: trovata la formula per le partizioni dei numeri


Una delle tante cose affascinanti della matematica, è il fatto che anche le cose apparentemente più semplici ed immediate, nascondono di fatto una complessità che permette di apprezzare  quanto potente ed elegante sia il pensiero matematico. E' quello che accade, ad esempio, per le partizioni dei numeri: una cosa piuttosto semplice, immediata da capire, ma che ha tenuto in scacco le migliori menti matematiche per diversi secoli. Almeno fino ad oggi, in quanto sembra che il matematico Ken Ono abbia finalmente svelato l'arcano.

La partizione di un numero è un concetto molto semplice, che esprime in sostanza il numero di combinazione di numeri naturali positivi che, sommati, danno il numero stesso. Prendiamo per esempio il numero 4: 4 =1+3=2+2= 2+1+1=1+1+1+1. Quindi, per il numero 4 esistono 5 partizioni. Il tutto è molto semplice finchè si ha a che fare con numeri piuttosto bassi; già per il numero 10 esistono 42 partizioni, mentre per il numero 100 ne esistono qualcosa come 190 milioni. Le partizioni quindi, come un esplosione, si dirigono molto velocemente verso l'infinito; una cosa, questa, che ha affascinato da subito i migliori matematici, in una corsa verso una formula in grado di calcolarle per qualsiasi numero.

Una primo tassello alla questione è stato posto da Eulero nel 18° secolo, che ha introdotto una formula ricorsiva per il calcolo delle partizioni; un procedimento molto lento, il suo, che di fatto è inutilizzabile oltre le prime 200 partizioni. Successivamente, nel 20° secolo, l'indiano Ramanujan  insieme ad Hardy, hanno introdotto una formula per il calcolo approssimato delle partizioni oltre il 200. Una formula utile, ma comunque non rigorosa, in quanto forniva solo un valore approssimato. Proprio Ramanujan, uno dei più grandi matematici della storia, nel corso del lavoro si accorse di alcune strutture apparentemente strane nella trama delle partizioni, legate ai numeri primi 5, 7 ed 11; purtroppo, la sua morte prematura a soli 32 anni, non gli ha consentito di fornire una spiegazione a quelle che sono poi diventate le congruenze di Ramanujan.  Nel 1937, infine, il tedesco Rademacher scoprì una formula rigorosa, ma che necessitava di infinite somme di numeri con infinite cifre decimali, una cosa di difficile applicazione.

Successivamente, altri matematici hanno aggiunto ulteriori tasselli alla questione, senza però giungere ad una formula rigorosa e conclusiva. Una svolta sembra esserci stata grazie a Ono, il quale, osservando la struttura frattale degli alberi durante una passeggiata nella foresta di Tallulah Falls con il collega Kent, ha pensato di applicare la stessa teoria al problema delle partizioni. Da subito, hanno capito che la struttura delle partizioni dei numeri è proprio una struttura frattale, in cui, cioè, le caratteristiche si ripetono su scale diverse. In apparenza, la serie sembra disordinata, ma analizzata ad una scala di dettaglio più grande contiene degli schemi che tendono a ripetersi.

Il loro lavoro non si è fermato alla scoperta della frattalità, ma sono riusciti a migliorare la formula di Rademacher, ottenendo finalmente una formula che in un numero finito di passi e con numeri "gestibili", riesce a calcolare il numero delle partizioni di qualsiasi numero positivo. "Abbiamo trovato una funzione, che chiamiamo P, che è come un oracolo magico", ha detto Ono. "Posso prendere un qualsiasi numero, inserirlo in P, e subito calcolare le partizioni di tale cifra. P non restituisce numeri raccapriccianti con un numero infinito di decimali. E' la formula algebrica finale che tutti stavamo cercando".

8 commenti:

  1. Articolo interessante......ma.....qual è la formula algebrica finale, semplice e veloce???

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  2. "in quanti modi diversi un numero intero può essere scritto come somma di numeri interi?
    dare una stima per eccesso del numero di modi in cui 20 può essere scritto come somma di numeri interi" AIUTO! Devo rispondere a questo problema di un esame universitario (facoltà di scienze della formazione primaria, disciplina: Fondamenti e didattica della matematica). so che riguarda la partizione, il prof ha parlato dell'esistenza di una semplice formula....ma non riesco a venirne a capo!

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  3. prova ad applicare la formula che trovi al seguente link:

    http://it.wikipedia.org/wiki/Partizione_di_un_intero

    la formula è quella di Ramanujan e Hardy, la prima sotto il paragrafo "storia"; è solo una stima, vedi se può andarti bene

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  4. GRAZIE! Provo ad applicarla...anche se non saprei descriverla, nel senso che dovrei farci su un discorso.....vedi, il prof forse crede di stare nella facoltà di matematica, quando io insegnerò ai bambini della scuola materna al massimo a contare fino a dieci! ;o) però ci vuole preparati anche su questa formula!! ;o)
    Non mi sono molto chiari i passaggi, soprattutto la potenza del numero e, che è un po' complicata per me.... Provo...intanto grazie!!! :o)

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  5. ....un'altra cosa....cosa vuol dire "formula asintotica"?...potrei spiegarlo con poche chiare parole senza compromettere il discorso?
    Non so come ringraziarti!

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  6. Ciao Elisa, asintotica vuol dire che più n aumenta e più la stima è precisa (l'errore diventa più piccolo). Spero di essere stato chiaro.

    Ciao e in bocca la lupo per l'esame!

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  7. Grazie mille per questi consigli che sono stati preziosissimi!
    L'esame è andato benone! 30!!! Il Prof. mi ha solo fatto accennare a questa formula, ammettendo che ci ha chiesto qualcosa che non era proprio alla nostra portata, e vedendo che parlavo con sicurezza mi ha interrotto e siamo passati poi alla didattica (il Prof è montessoriano, quindi la maggior parte dell'esame era poi basata su didattica e materiali per la scuola dell'infanzia e primaria). Insomma...tutto ok!!! :o)
    Ancora grazie!!!!

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  8. Grandissima! Sono contento che l'esame sia andato bene e anche che, seppure in piccolissima parte, sia stato anche grazie al mio aiuto.
    In bocca al lupo per tutto.

    Francesco

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