Una curiosità matematica della natura: la legge di Benford

Che cosa lega tra loro i terremoti, le luminosità degli oggetti stellari e i casi di malattie infettive? Sebbene si trattino di fenomeni naturali moto diversi, alcune delle loro proprietà rispondono alla legge di Benford, una curiosa legge matematica non molto nota, ma di cui giorno per giorno si continuano a trovare nuovi usi e nuovi ambiti di applicazione.

La legge di Benford, la quale prende il nome da Frank Benford, che la introdusse nel 1938, afferma che prendendo in esame molte serie di numeri, il valore della prima cifra non è del tutto casuale, ma segue una distribuzione di probabilità. Esiste infatti una probabilità del 30.1% che la prima cifra sia un "1", e la probabilità decresce gradualmente mano a mano che ci si sposta verso la cifra "9", la cui probabilità di essere la prima cifra è circa del 4.6%. Questa legge, chiamata anche legge della prima cifra, è scala-invariante, cioè rimane la stessa se si moltiplicano tutti i numeri da analizzare per un valore costante. Nell'esempio che segue viene preso in esame il numero di abitanti dei comuni italiani nel censimento 2001.

Prima cifra 

------------------------    
n   comuni  percentuale     
1    2547      31,0 

2    1391      16,9 

3    1057      12,9         
4     791       9,6         
5     632       7,7         
6     544       6,6         
7     484       5,9         
8     406       4,9         
9     365       4,4         
Tot  8217     100,0         

Malcolm Sambridge della Australian National University di Canberra, insieme ad alcuni colleghi, ha ampliato l'elenco dei fenomeni naturali le cui proprietà seguono la legge di Benford. Il loro nuovo elenco comprende le profondità di quasi 250.000 terremoti che si sono verificati in tutto il mondo tra il 1989 e il 2009, la luminosità dei raggi gamma che raggiungono la Terra, registrati dal telescopio spaziale Fermi, le velocità di rotazione delle pulsar, e i numeri di 987 malattie infettive segnalati alla Organizzazione Mondiale della Sanità nel 2007.

Nonostante questa legge possa ancora scioccare qualche scienziato, nella geofisica sono molti gli esempi in cui sembra valere: il gruppo di Sambridge, ad esempio, non ha valutato solo le profondità dei terremoti, ma anche gli spostamenti verticali del terreno in Perù, usati come indizi del terremoto di Sumatra del 2004. Hanno scoperto che mentre gli spostamenti prima del terremoto, quando i movimenti erano dovuti a "rumore di fondo", non seguivano la legge di Benford, quelli registrati durante l'evento si sono distribuiti invece secondo tale legge.

La legge di Benford trova spazio anche in altre applicazioni: per esempio, la legge si potrebbe applicare per scoprire eventuali frodi nelle raccolta dati, visto che le eventuali falsificazioni tendono ad inserire numeri casuali, senza tenere conto di particolari frequenze nelle prime cifre. Un altro utilizzo potrebbe essere nel controllo sulla veridicità delle dichiarazioni fiscali, visto che un suo test in caso di frodi reali ha dato buoni risultati.

fonte: New Scientist